2024年大連海事大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
考試內容
一、 多項式
1. 多項式的帶余除法、整除性，最大公因式、互素多項式。
2. 不可約多項式，因式分解唯一性定理，重因式，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式不可約的判定。
3. 多項式函數與多項式的根，有理系數多項式有理根的求法，根與系數關系。
二、 行列式
1.n階行列式的概念和基本性質，行列式的子式、余子式以及代數余子式。
2.行列式按行(列)展開定理，范德蒙德行列式，克拉姆法則，拉普拉斯定理，行列式乘積規則。
3. 行列式的計算。
三、 線性方程組
1. 向量空間。
2.向量組的線性相關與線性無關。
3.向量組的極大線性無關組，向量組的秩。
4.等價向量組的概念和性質。
5.矩陣的秩。
6.求解線性方程組的消元法。
7.線性方程組有解的判定，齊次線性方程組有非零解的充要條件。
8.齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間。
9.非齊次線性方程組的解向量的性質和通解。
四、 矩陣
1.矩陣的加法、乘積、方冪、轉置等運算及性質。
2.矩陣的初等變換，矩陣的等價，矩陣的標準形。
3.初等矩陣的概念和性質。
4.逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，用伴隨矩陣及初等變換求逆矩陣。
5.分塊初等矩陣及應用。
五、 二次型
1.二次型的矩陣表示及秩。
2.用可逆線性變換化二次型為標準形(配方法，初等變換法)。
3.合同矩陣、對稱陣在合同變換下的標準形。
4.用正交變換化二次型為標準型。
5.復數域、實數域上二次型的標準形和規范形，慣性定理。
6.正、負定二次型(或正、負定矩陣)的判定。
六、 線性空間
1.線性空間、基底、維數及坐標等概念。
2.線性空間的基變換與坐標變換、過渡矩陣。
3.線性子空間及其交與和的基與維數、維數公式。
4.線性子空間的直和。
5.線性空間的同構。
七、 線性變換
1.線性變換的概念、矩陣表示、秩、運算及在給定基下的矩陣。
2.線性變換(矩陣)的特征值與特征向量的概念、性質。
3.相似變換、相似矩陣的概念及性質。
4.線性變換(矩陣)可相似對角化的充要條件。
5.正交矩陣、實對稱陣及其性質。
6.值域與核的基與維數。
7.不變子空間。
8.哈密爾頓-凱萊定理，若當標準形，最小多項式。
八、λ-矩陣
1.λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子以及三種因子之間的關系。
2.λ-矩陣的等價與數字矩陣的相似。
3. 若爾當標準型的理論推導。
九、 歐氏空間
1.向量的內積、范數(長度)、夾角。
2.施密特正交化過程，標準正交基。
3.正交子空間和正交補。
4.正交變換和對稱變換的概念和性質。
5. 實對稱陣正交相似于對角陣的計算。
參考書目
1.課程教材：《高等代數》(第五版)，北京大學數學系前代數小組編(王萼芳、石生明修訂)，高等教育出版社，2019年。
2.參考資料：徐仲等編，《高等代數導教、導學、導考(第四版)》，西北工業大學出版社，2014年。
3.參考資料：孫怡東主編，《高等代數輔導》(第二版)，大連海事大學出版社，2023年。
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