2024年武漢紡織大學非全日制研究生招生考試《高等代數》考試大綱
考試內容和考試要求
一、多項式
【考試內容】
數域；一元多項式；整除；最大公因式(互素)；不可約多項式，因式分解；因式；多項式函數，根與一次因式的關系；復系數、實系數多項式的因式分解；有理系數多項式的可約性及其有理根，有根與可約的關系。
【考試要求】
1. 理解數域、多項式的相關的概念，掌握多項式運算、帶余除法、輾轉相除法。
2. 理解整除、互素和余數定理，會運用它們進行證明。
3. 掌握有理系數多項式的性質，會求多項式的有理。
二、線性方程組
【考試內容】
消元法，線性相關性，向量組的秩，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構，n 維向量空間的定義及性質。
【考試要求】
1. 掌握向量組的秩與矩陣秩的計算方法和性質，并會運用它們進行計算和證明。
2. 掌握線性方程組解的結構和線性方程組有解判別定理，能夠求解線性方程組。
3. 掌握線性相關的性質和結論，并會運用它們進行計算和證明。
4. 理解 n 維向量空間的定義及性質。
三、矩陣
【考試內容】
矩陣的定義與運算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣分塊；初等矩陣；分塊矩陣及其應用。
【考試要求】
1. 掌握矩陣的基本運算。
2. 掌握可逆矩陣的定義、性質和計算方法，并會運用它們進行計算和證明。
3. 掌握伴隨矩陣的性質及其有關結論，會運用它們進行證明。
4. 掌握矩陣乘積的秩的性質及其有關結論，并會運用它們進行計算和證明。
5. 理解初等矩陣的概念、性質和有關結論。
6. 理解分塊矩陣，并會運用分塊矩陣進行計算和證明。
四、行列式
【考試內容】
排列；n 級行列式定義，n 級行列式的性質，n 級行列式的各種計算方法(含展開)，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法規則。
【考試要求】
1.掌握 n 級行列式定義、性質和計算方法，并會運用它們進行計算和證明。
五、線性空間
【考試內容】
線性空間的定義及基本性質，基、維數及坐標的定義和基本性質，基變換與坐標變換的關系，線性子空間的定義、性質、基、維數，線性子空間的交與和的性質、基和維數，維數公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構。
【考試要求】
1. 掌握基變換與坐標變換。
2. 掌握線性子空間定義、性質和有關結論。
3. 掌握線性子空間的直和的定義及判定。
六、線性變換
【考試內容】
線性變換的定義、性質和運算，線性變換的矩陣表示和性質，線性變換[方陣]的特征值理論，線性變換[矩陣] 的對角化，線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質和線性空間的直和分解，線性變換[矩陣]的若當標準形、極小多項式介紹。
【考試要求】
1. 掌握線性變換的矩陣表示和性質、理論推導和線性變換在不同基下的關系。
2. 掌握矩陣和線性變換的特征值、特征向量的性質和解法。
3. 掌握矩陣可以對角化的幾個充分或必要條件。
七、歐幾里得空間
【考試內容】
歐幾里得空間的定義和基本性質，度量矩陣的定義及性質，施密特(Schimidt)正交化過程，正交矩陣和正交變換的定義及性質，線性空間的正交分解，實對稱矩陣的標準形理論，最小二乘法。
【考試要求】
1. 掌握施密特正交化過程、標準正交基的計算。
2. 掌握正交矩陣和正交變換的定義及性質。
3. 掌握對稱矩陣的有關性質和結論，并會運用它們進行證明。
八、二次型
【考試內容】
二次型的定義及矩陣表示，二次型的標準形及化簡二次型，實系數二次型的規范形的唯一性，正定二次型和正定矩陣的定義、性質及判定，矩陣的合同不變性質。
【考試要求】
1. 掌握化簡二次型的方法，會將二次型化為標準形和規范形。
2. 掌握正定二次型和正定矩陣的定義、性質及判定條件，并會運用它們進行計算和證明。
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