2024年湖南師范大學(xué)非全日制研究生招生考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱
一、考試內(nèi)容及要點(diǎn)
1、極限論
【考試內(nèi)容】
① 各種極限的計(jì)算；
② 單調(diào)有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理等實(shí)數(shù)基本理論的靈活應(yīng)用；
③ 連續(xù)函數(shù)特別是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用；
④ 極限定義的熟練掌握等.
【考試要點(diǎn)】
(1)能熟練計(jì)算各種極限，包括單變量和多變量情形.
(2)能熟練利用六個(gè)實(shí)數(shù)基本定理尤其是單調(diào)有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理進(jìn)行各種理論證明.
(3)能熟練掌握單變量連續(xù)函數(shù)特別是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明；掌握多變量連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)尤其是有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明.
(4)熟練掌握各種極限的定義，并能用邏輯術(shù)語(yǔ)進(jìn)行理論證明.
2、單變量微分學(xué)
【考試內(nèi)容】
① 微分中值定理(包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等)的靈活運(yùn)用(包括單調(diào)性討論、極值的求取、凸凹性問題、等式和不等式的證明等)；
② Talor公式的靈活運(yùn)用(包括用Lagrange余項(xiàng)形式證不等式、用Peano余項(xiàng)形式估計(jì)階以及求極限等)；
③ 各種形式導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；
④ 導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)用等.
【考試要點(diǎn)】
(1)熟練掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的條件和結(jié)論，能熟練利用這些定理進(jìn)行理論證明或計(jì)算，包括函數(shù)單調(diào)性討論、極值的求取、凸凹性問題的討論、等式和不等式的證明等.
(2) 熟練掌握Talor公式的條件和結(jié)論，并能做到靈活運(yùn)用，尤其是利用Lagrange余項(xiàng)形式證不等式、Peano余項(xiàng)形式估計(jì)階以及求極限等.
(3)熟練掌握復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.
(4)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，能用邏輯語(yǔ)言進(jìn)行理論證明，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行證明或計(jì)算.
3、單變量積分學(xué)
【考試內(nèi)容】
① 各種不定積分和定積分的熟練計(jì)算，尤其是計(jì)算中的處理技巧；
② 廣義積分的計(jì)算和斂散性判別；
③ 定積分的定義和性質(zhì)的靈活運(yùn)用等.
【考試要點(diǎn)】
(1)熟練計(jì)算各種不定積分、定積分，熟練掌握湊微分法、換元法、分部積分法以及常用的計(jì)算技巧，熟練掌握奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的積分特點(diǎn).
(2)熟練掌握廣義積分的計(jì)算，熟練掌握區(qū)間無限型、函數(shù)無界型以及混合型廣義積分的斂散性判別，并能進(jìn)行理論證明.
(3)熟練掌握定積分的定義，能利用定積分的定義進(jìn)行極限的計(jì)算，熟練掌握定積分的性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)進(jìn)行理論證明，掌握常用可積函數(shù)類
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