2024年湖南師范大學非全日制研究生招生考試《泛函分析》考試大綱
一、考試內容及要點
1、距離空間和賦范線性空間
【考試內容】
(1)距離空間：距離空間的概念，距離空間中的開集閉集，稠密性與可分性，連續(xù)映射的概念，距離空間中的完備性，列緊集，緊集及其上連續(xù)映射，具體空間列緊集的判定定理，壓縮映射原理及其應用。
(2)賦范線性空間：線性空間、范數(shù)、賦范線性空間、Banach空間等概念，賦范線性空間上范數(shù)的等價性，常見的具體Banach空間及其常用的范數(shù)的定義。
【考試要點】
(1)熟悉距離空間的概念和一些具體的距離空間；理解距離空間中的開集閉集，稠密集與空間的可分性；熟練掌握連續(xù)映射的概念、距離空間中的完備性、列緊集和緊集以及其上連續(xù)映射的性質；掌握具體空間列緊集的判定法；熟練掌握壓縮映射原理，并會用壓縮映射原理分析映射的不動點。
(2)理解線性空間、范數(shù)、賦范線性空間等概念;掌握Banach空間、線性賦范空間上范數(shù)的等價性;熟悉某些常見Banach空間中常用的范數(shù)的定義。
2、有界線性算子與連續(xù)線性泛函
【考試內容】
有界線性算子和連續(xù)線性泛函的概念和其性質，線性算子空間、共軛(對偶)空間，某些常見Banach空間的共軛空間。
【考試要點】
掌握有界線性算子和連續(xù)線性泛函的概念和其性質，并會計算界線性算子和連續(xù)線性泛函的范數(shù);理解線性算子的連續(xù)性和有界性，熟悉算子空間、共軛(對偶)空間的基本性質和某些常見Banach空間的共軛空間。
3、Hilbert空間
【考試內容】
內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征、正交系、正規(guī)正交基、正交化，Hilbert空間的同構，射影定理、Hilbert空間上的Riesz表示定理。
【考試要點】
熟悉內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征;熟練掌握正交系、正規(guī)正交基、正交化、射影定理;理解Hilbert空間的同構、Hilbert空間上的Riesz表示定理。
4、Banach空間的基本定理
【考試內容】
Hahn-Banach延拓定理及其推論，Riesz表示定理及應用，共軛算子及其性質，第一、第二綱的集，綱定理，一致有界定理及應用，開映射定理，閉圖象定理，弱收斂和弱*收斂。
【考試要點】
熟練掌握Hahn-Banach延拓定理的推論、Riesz表示定理、一致有界定理及應用、開映射定理、閉圖象定理;掌握共軛算子及其性質;理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二綱的集;了解弱收斂和弱*收斂。
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