2024年暨南大學非全日制研究生招生考試《數學分析》考試大綱
本《數學分析》考試大綱適用于暨南大學數學學科各專業(基礎數學、計算數學、概率論與數理統計、應用數學、運籌學與控制輪)碩士研究生入學考試。
數學分析是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。它的主要內容包括極限與連續、一元函數的微分學、一元函數的積分學、無窮級數、多元函數的微分學與積 分學、含參變量積分。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
一、 考試的基本要求
要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念，掌握數學分析的基本理論、基本思想和方法，具有一定的綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力，以便為以后繼續學習 和從事科研奠定堅實的分析基礎。
二、考試內容
1.極限與連續
(1) 極限的ε-δ、ε-N 定義及其證明;極限的性質及運算、無窮小量的概念及基本性質;
(2) 函數的連續性及一致連續性概念，函數的不連續點類型，連續函數的性質的證明及其 應用;
(3) 上、下極限概念，實數集完備性的基本定理及其應用;
(4) 二元函數的極限的定義及性質，重極限與累次極限概念，二元函數的連續性概念及性 質;
(5) 數列極限的計算，一元與二元函數極限的計算。
2.一元函數的微分學
(1) 函數的導數與微分概念及其幾何意義，函數的可導、可微與連續之間的關系;
(2) 求函數(包括復合函數及分段函數)的各階導數與微分;
(3) Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor定理及其應用;
(4) 用導數研究函數的單調性、極值、最值和凸凹性;
(5) 用洛必達法則求不定式極限。
3. 一元函數的積分學
(1) 不定積分的概念及不定積分的基本公式，換元積分法與分部積分法，求初等函數、有 理函數和可化為有理函數的不定積分;
(2) 定積分的概念，可積條件與可積函數類;
(3) 定積分的性質，微積分學基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法，積分第一、 二中值定理及其應用;
(4) 用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積已知 的立體體積、變力做功和物體的質量;
(5) 反常積分的概念及性質，兩類反常積分的比較判別法、阿貝耳判別法和狄 立克雷判別法，兩類反常積分的計算。
4. 無窮級數
(1) 數項級數斂散性的概念及基本性質;
(2) 正項級數收斂的充分必要條件、比較原則、比式判別法、根式判別法與積 分判別法;
(3) 一般數項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系，絕對收斂級數的性質，交錯級數的萊布尼茲判別法，一般數項級數的阿貝耳判別法和狄立 克雷判別法;
(4) 函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的 Weierstrass 判別法、Cauchy 判別法、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法;
(5) 冪級數的收斂半徑、收斂域的求法，冪級數的性質與運算;函數的冪級數 展開及冪級數的和函數的性質與求法;
(6) 周期函數的 Fourier 級數展開及 Fourier 級數收斂定理。
5.多元函數的微分學與積分學
(1) 多元函數的偏導數和全微分的概念、幾何意義與應用，連續、可微與可偏 導之間的關系，多元函數的偏導數(包括高階偏導)與全微分的計算，方向導數與梯度的定義與計算;
(2) 多元函數的無條件極值、中值定理與泰勒公式;
(3) 隱函數存在定理及求隱函數的偏導數;
(4) 曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法;
(5) 重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算;
(6) 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應用。
6.含參變量積分
(1) 含參變量正常積分的概念及性質;
(2) 含參變量反常積分一致收斂的概念及其判別法，一致收斂的含參變量反常 積分的性質及其應用。
三、 考試題型
填空題、單項選擇題、計算題、證明題。
四、考試方法和考試時間
采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
五、 主要參考教材
數學分析：《數學分析 第五版》，上、下冊，華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019
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